Câu hỏi của phạm dương khanh ly

Question

cho tam giác ABC nhọn . Ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H .Chứng minh :

a) tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp

b) góc AEF = góc DEC

c...

Hoàng Anh Thư · Accepted Answer

Ta cần chứng minh tứ giác $B D H F$ có tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$ hoặc có một góc nội tiếp chung đường tròn.

Vì $A D$ và $B E$ là đường cao nên: $\angle B D A = 90^{\circ} , \angle B F H = 90^{\circ}$
Do đó: $\angle B D A + \angle B F H = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
Suy ra, $B D H F$ là tứ giác nội tiếp.

Vì $B E$ và $C F$ là đường cao nên $B E \bot A C$, $C F \bot A B$.
Tứ giác $A E C F$ là tứ giác nội tiếp do có hai góc đối diện cùng bằng $90^{\circ}$.
Suy ra, $\angle A E F = \angle A C F$.
Tương tự, tứ giác $C E D F$ cũng nội tiếp nên $\angle D E C = \angle A C F$.
Do đó, ta có: $\angle A E F = \angle D E C .$

Ta biết $H$ là trực tâm tam giác $A B C$, tức là giao điểm ba đường cao $A D , B E , C F$.
Trong tam giác $D E F$, $H$ là giao điểm của ba đường phân giác góc trong:
- Vì $H$ nằm trên $A D , B E , C F$ nên các góc $\angle E H F , \angle F H D , \angle D H E$ được chia đều thành hai phần bằng nhau.
- Điều này chứng tỏ $H$ cách đều ba cạnh $D E , E F , F D$, nghĩa là $H$ chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $D E F$.

Kết luận: $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $D E F$.

Câu trả lời:

Ta cần chứng minh tứ giác $B D H F$ có tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$ hoặc có một góc nội tiếp chung đường tròn.

Vì $A D$ và $B E$ là đường cao nên: $\angle B D A = 90^{\circ} , \angle B F H = 90^{\circ}$
Do đó: $\angle B D A + \angle B F H = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
Suy ra, $B D H F$ là tứ giác nội tiếp.

Vì $B E$ và $C F$ là đường cao nên $B E \bot A C$, $C F \bot A B$.
Tứ giác $A E C F$ là tứ giác nội tiếp do có hai góc đối diện cùng bằng $90^{\circ}$.
Suy ra, $\angle A E F = \angle A C F$.
Tương tự, tứ giác $C E D F$ cũng nội tiếp nên $\angle D E C = \angle A C F$.
Do đó, ta có: $\angle A E F = \angle D E C .$

Ta biết $H$ là trực tâm tam giác $A B C$, tức là giao điểm ba đường cao $A D , B E , C F$.
Trong tam giác $D E F$, $H$ là giao điểm của ba đường phân giác góc trong:
- Vì $H$ nằm trên $A D , B E , C F$ nên các góc $\angle E H F , \angle F H D , \angle D H E$ được chia đều thành hai phần bằng nhau.
- Điều này chứng tỏ $H$ cách đều ba cạnh $D E , E F , F D$, nghĩa là $H$ chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $D E F$.

Kết luận: $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $D E F$.