1. Xét hai tam giác vuông ΔABHΔABH và ΔACHΔACH có:

AHAH cạnh chung

AB=AC=10cmAB=AC=10cm (gt)

Vậy ΔABH=ΔACHΔABH=ΔACH (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

HC=HBHC=HB (hai cạnh tương ứng) hay H là trung điểm BC

2. BH=HC=BC2=122=6BH=HC=BC2=122=6 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔΔ vuông ABHABH có:

AH2=AB2−HB2=102−62=64⇒AH=8AH2=AB2−HB2=102−62=64⇒AH=8 cm

3. Xét ΔAKEΔAKE và ΔAKHΔAKH có:

AKAK chung

ˆAKE=ˆAKH=90oAKE^=AKH^=90o (do HK⊥ACHK⊥AC)

KE=KHKE=KH (do giả thiết cho K là trung điểm của HE)

⇒ΔAKE=ΔAKH⇒ΔAKE=ΔAKH (c.g.c)

⇒AE=AH⇒AE=AH (hai cạnh tương ứng) (1)

Cách khác để chứng minh AE=AH

Do ΔAHEΔAHE có K là trung điểm của HE nên AK là đường trung tuyến,

Có HK⊥ACHK⊥AC hay AK⊥HEAK⊥HE nên AK là đường cao

ΔAHEΔAHE có AK là đường trung tuyến cũng là đường cao nên ΔAHEΔAHE cân đỉnh A nên AE=AH.

4. Ta có HI⊥ABHI⊥AB hay AI⊥DH⇒AI⊥DH⇒ AI là đường cao của ΔADHΔADH
Mà IH=ID nên AI cũng là đường trung tuyến ΔADHΔADH 
Vậy ΔAEHΔAEH cân tại A
Nên AD=AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE=AD hay ΔAEDΔAED cân tại A.

5. Xét 2 tam giác vuông ΔAHIΔAHI và ΔAHKΔAHK có:

AH chung

ˆIAH=ˆKAHIAH^=KAH^ (hai góc tương ứng của ΔABH=ΔACHΔABH=ΔACH)

⇒ΔAHI=ΔAHK⇒ΔAHI=ΔAHK (cạnh huyền- góc nhọn)

⇒HI=HK⇒2HI=2HK⇒HD=HE⇒HI=HK⇒2HI=2HK⇒HD=HE

Mà ta có AD=AEAD=AE (cmt)

⇒AH⇒AH là đường trung trực của DE⇒AH⊥DEDE⇒AH⊥DE mà AH⊥BCAH⊥BC

⇒DE//BC⇒DE//BC

6. Để A là trung điểm ED thì DA⊥AHDA⊥AH mà ΔADHΔADH cân (cmt) nên ΔADHΔADH vuông cân đỉnh A.

Có AIAI là đường cao, đường trung tuyến nên AIAI cũng là đường phân giác nên

ˆDAI=ˆHAI=90o2=45oDAI^=HAI^=90o2=45o

⇒ˆIAH=ˆBAH=ˆCAH=45o⇒IAH^=BAH^=CAH^=45o (do ΔABH=ΔACHΔABH=ΔACH)

⇒ˆBAC=ˆBAH+ˆCAH=90o⇒BAC^=BAH^+CAH^=90o và ΔABCΔABC cân đỉnh A

⇒ΔABC⇒ΔABC vuông cân đỉnh A.

Vậy nếu ΔABCΔABC vuông cân đỉnh A thì AA là trung điểm của DE.

a) xét tam giác ABH và tam giác ACH có

Góc AHB =Góc AHC =90 độ 

AB =AC ( do tam giác abc cân) 

Góc B = góc C (do tam giác abc cân) 

=> tam giác ABH = tam giác ACH ( cạnh huyền, góc nhọn) 

=>HB= HC (hai cạnh tương ứng bằng nhau) 

b) Xét tam giác MAK và tam giác MCK có

AK=KH( gì) 

Góc AKB = GÓC CKB=90 độ

MK chung

=>tam giác MAK = tam giác MCK( c. g. c) 

=> MA=CM( hai cạnh tương ứng) 

c) từ tam giác mak = tam giác MCK ( câu b) 

=>góc MAK = góc C (..)

TA CÓ tam giác abc cân ở A =>góc B = góc C 

=>góc Abc = góc Mak

d)  cậu xem lại đề phần này đi nha mik thấy nó sai cái j đó

a, Xét △BAH vuông tại H và △CAH vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

       AB = AC (gt)

=> △BAH = △CAH (ch-cgv)

=> BH = CH (2 cạnh tương ứng)

Mà H nằm giữa B, C

=> H là trung điểm BC

Ta có: BH + CH = BC => BH + BH = 12 => 2BH = 12 => BH = 6 (cm)

Xét △BAH vuông tại H có: AH² + BH² = AB² (định lý Pytago)

=> AH² = AB² - BH²  

=> AH² = 10² - 6² 

=> AH² = 64

=> AH = 8 (cm)

b, Ta có: MH = MB + BH và HN = HC + CN

Mà BH = HC (cmt) ; MB = CN (gt)

=> MH = HN

Xét △MHA vuông tại H và △NHA vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

      MH = HN (cmt)

=> △MHA = △NHA (2cgv)

=> HMA = HNA (2 góc tương ứng)

Xét △AMN có: AMN = ANM (cmt) => △AMN cân tại A

c, Xét △MBE vuông tại E và △NCF vuông tại F

Có: EMB = FNC (cmt)

      MB = CN (gt)

=> △MBE = △NCF (ch-gn)

=> MBE = NCF (2 góc tương ứng)

d, Vì △MHA = △NHA (cmt) => MAH = NAH (2 góc tương ứng)

=> AH là phân giác của MAN

Ta có: AE + EM = AM và AF + FN = AN 

Mà EM = FN (△MBE = △NCF) ; AM = AN (△AMN cân tại A)

=> AE = AF

Xét △EAK vuông tại E và △FAK vuông tại F

Có: AK là cạnh chung

       AE = AF (cmt)

=> △EAK = △FAK (ch-cgv)

=> EAK = FAK (2 góc tương ứng)

=> AK là phân giác EAF => AK là phân giác MAN

Mà AH là phân giác của MAN

=> AK ≡ AH 

=> 3 điểm A, H, K thẳng hàng

Áp dụng đl Pi ta go đảo cho Tam giác ABC

=>AB²+CA²=BC²

=>15²+36²=39²

=>1521=1521

=>Tam giác ABC vuông tại A 

Áp dụng đl pi ta go cho tam giác ABH

=>AB²=AH²+BH²

=>15²=9²+BH²

=>BH²=225-81=144=12²

=>BH=12

Vậy...

Chứng minh phần e hộ mik với