A=1/21+1/22+1/23+...+1/40(có 20 phân số)

A<1/20+1/20+1/20+..+1/20(có 20 phân số)

A<20/20=1(1)

A>1/40+1/40+1/40+...+1/40(có 20 phân số)

A>20/40=1/2(2)

từ (1);(2) ta kết luận 1/2<A<1(câu 1)

dễ thấy A=.1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^200

             A<1/1*2+1/2*3+...+1/200*201

              A<1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/200-1/201

             A<1-1/201<1

            A<1

KL:0<A<1

thanks bạn nha

Bạn xem lời giải của mình nhé:

Giải:

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{8^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}\\\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{7.8} \\ =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\)

\(=1-\frac{1}{8}< 1\\ \Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{8^2}< 1\)

Chúc bạn học tốt!

Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{8^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{7.8}\)

                                          = \(1-\frac{1}{8}< 1\)

Vậy B < 1

xét: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n (1) 
=> Sn = n + (n-1) + .. + 2 + 1 (2) 
thấy 1+n = 2 + (n-1) = 3+(n-2) = n-1 + 2 = n+1 
lấy (1) + (2) và với chú ý trên ta có: 
2.Sn = (n+1) + (n+1) +..+ (n+1) = n(n+1) (vì n số hạng giống nhau) 
=> Sn = n(n+1)/2 => Sn /n = (n+1)/2 

=> P = 1 + S2/2 + S3/3 + S4/4 +...+ Sn /n 

P = 1 + 3/2 + 4/2 + 5/2 +.. + (n+1)/2 

P = 2(2 + 3 + 4 + ... + n + n+1) = 2(1+2 +..+ n+1) - 2 = 2.S(n+1) - 2 

P = 2.(n+1)(n+2)/2 - 2 = (n+1)(n+2) - 2 = n²+3n 

Bài toán chỉ tính đến S16/16 (tức n = 16) 
P = 16² + 3.16 = ...

xét: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n (1)
=> Sn = n + (n-1) + .. + 2 + 1 (2)
thấy 1+n = 2 + (n-1) = 3+(n-2) = n-1 + 2 = n+1
lấy (1) + (2) và với chú ý trên ta có:
2.Sn = (n+1) + (n+1) +..+ (n+1) = n(n+1) (vì n số hạng giống nhau)
=> Sn = n(n+1)/2 => Sn /n = (n+1)/2

=> P = 1 + S2/2 + S3/3 + S4/4 +...+ Sn /n

P = 1 + 3/2 + 4/2 + 5/2 +.. + (n+1)/2

P = 2(2 + 3 + 4 + ... + n + n+1) = 2(1+2 +..+ n+1) - 2 = 2.S(n+1) - 2

P = 2.(n+1)(n+2)/2 - 2 = (n+1)(n+2) - 2 = n²+3n

 bài toán chỉ tính đến S16/16 (tức n = 16)
P = 16² + 3.16 = ...

Ta có:1/2^2<1/1.2

1/3^2<1/2.3

1/4^2<1/3.4

....

1/100^2<1/99.100

Do đó 1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....+1/100^2<1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/99.100

=>1/2^2+1/3^2+1/4^2+........+1/100^2<1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100=1/1-1/100=99/100<1

=>1/2^2+1/3^2+1/4^2+....+1/100^2<1( đpcm)

ta có :
1/2^2+1/3^2+......+1/100^2<1/1.2+1/2.3+.....+1/99.100<1- 1/100<1(tớ làm chỗ này hơi tắt nhớ trình bày kĩ nha!)
Bài 4:
P<1+1+(1/1.2+1/2.3+....+1/1993.1994)(tính phần trong ngoặc sẽ bít nó nhỏ hơn 1
P<1+1+1=3

A=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/100^2

A<1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100

A=1+1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100

A=1+1-1/100

A=2-1/100<2

nên A<2

\(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(\Rightarrow A< 1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow A< 2-\frac{1}{100}\)

Mà hiệu  \(2-\frac{1}{100}< 2\Rightarrow A< 2\) 

Đáp án

Bài giải qua 3 bước như sau:

Bước 1: Xét mẫu số của số hạng tổng quát trong tổng trên:

      S = 1 + 2 + ... + (n - 1) + n                     ( * )

      Khi viết S theo thứ tự ngược lại la có:

      S = n + (n - 1) + ... + 2 + 1                     ( ** )

     Cộng vế với vế của ( * ) và ( ** ) ta có:

     S + S = [1 + n] + [2 + (n - 1)] + ... + [(n - 1) + 2] + [n + 1]

     2 . S = [n + 1]   + [n + 1] +   . . .    + [n + 1]       + [n + 1]     (Tổng có n số hạng [n + 1] )

     2 . S = n.(n + 1)

  => S = n.(n + 1)/2

  => Số hạng tổng quát của tổng đã cho là:

Bước 2: Ta có nhận xét:

  =>                       ( *** )

Bước 3:  Thay n = 1, 2, ... vào ( *** ) ta được các đẳng thức tương ứng:

     .   .   .   

Cộng các vế với nhau ta được:

Vậy tổng đã cho có kết quả bằng 2.

Đặng Thị Thùy Linh copy đáp án trên OLM

bn có thể vào mục "toán vui mỗi tuần" của OLM
 

vd câu 1:
ta có x-y=4 =>x=4+y
ta có pt:
4+y/y-2=3/2
=>8+2y=3y-6
=>-y=-14
=>y=14
=>x=4+y=4+14=18
các bài khác cũng tương tự thôi bạn

dấu chéo có nghĩa là phân số hí

\(Q=\frac{2\cdot2010}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+2012}}\)

\(Q=\frac{2\cdot2010}{1+\frac{1}{\frac{(1+2)\cdot2}{2}}+\frac{1}{\frac{(1+3)\cdot3}{2}}+\frac{1}{\frac{(1+4)\cdot4}{2}}+...+\frac{1}{\frac{(1+2012)\cdot2012}{2}}}\)

\(Q=\frac{2\cdot2010}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{2025078}}\)

\(Q=\frac{2\cdot2010}{1+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\frac{2}{20}...+\frac{2}{4050156}}\)

\(Q=\frac{2\cdot2010}{1+\frac{2}{2\cdot3}+\frac{2}{3\cdot4}+\frac{2}{4\cdot5}+...+\frac{2}{2012\cdot2013}}\)

\(Q=\frac{2\cdot2010}{1+2\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right]}\)

\(Q=\frac{2\cdot2010}{1+2\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}\right]}=\frac{2\cdot2010}{1+\frac{2011}{2013}}=\frac{2\cdot2010}{\frac{4024}{2013}}=\frac{4020}{\frac{4024}{2013}}=4020\cdot\frac{2013}{4024}=...\)

Nguyễn Linh Chi ơi , hình như cô nhầm thì phải :v \(2-\frac{2}{2013}=\frac{2\cdot2013-2}{2013}=\frac{4026-2}{2013}=\frac{4024}{2013}\)

sao mà bằng \(\frac{4020}{2013}\)được cô

Ta có: 

\(P=1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+3+...+2012}\)

\(P=1+\frac{1}{\frac{\left(1+2\right).2}{2}}+\frac{1}{\frac{\left(1+3\right).3}{2}}+...+\frac{1}{\frac{\left(1+2012\right).2012}{2}}\)

\(P=1+\frac{2}{3.2}+\frac{2}{4.3}+...+\frac{2}{2013.2012}\)

\(P=1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right)\)\

\(P=1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}\right)\)

\(P=1+1-\frac{2}{2013}=2-\frac{2}{2013}=\frac{4020}{2013}\)

\(Q=\frac{2.2010}{P}=\frac{4020}{\frac{4020}{2013}}=2013\)....

Ta có:

\(A=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-...-\frac{1}{2^{10}}\)

\(=1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{10}}\right)\)

Đặt \(B=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{10}}\)

\(\Rightarrow2B=2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{10}}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^9}\)

\(\Rightarrow2B-B=B=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^9}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{10}}\right)\)

\(=1-\frac{1}{2^{10}}\)

\(\Rightarrow A=1-\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)=1-1+\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{2^{10}}\)

Vậy \(A=\frac{1}{2^{10}}\)

no