Tham khảo:

Số tam giác là \(C_{2n}^3\). Một đa giác đều 2n đỉnh thì có n đường chéo xuyên tâm. Cứ 2 đường chéo xuyên tâm thì có một hình chữ nhật theo yêu cầu. Vậy số hình chữ nhật là \(C_n^2\).

Theo bài ta có phương trình :

\(C_{2n}^3=20C_n^2,\left(n\ge2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-3\right)!3!}=20\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2n-2\right)\left(2n-1\right)2n}{3}=20\left(n-1\right)n\)

\(\Leftrightarrow2\left(n-1\right)\left(2n-1\right)2n=60\left(n-1\right)n\)

\(\Leftrightarrow2n-1=15\), (do \(n\ge2\))

\(\Leftrightarrow n=18\)

Vậy đa giác đều có 16 cạnh, (thập lục giác đều)

Có thể chứng minh đẳng thức sau :

\(rC^r_n=nC^{r-1}_{n-1}\) \(\left(r=1,2,3,....,n-1\right)\)

Vì \(n\) là số nguyên tố và \(r< n\), nên \(n\) là ước của \(C^r_n\)

Áp dụng Viet với lưu ý \(tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\) ta có:

\(x_4+tanA+tanB+tanC=p\) (1)

\(x_4\left(tanA+tanB+tanC\right)+tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q\) (2)

\(x_4\left(tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\right)+tanA.tanB.tanC=r\)(3)

\(x_4.tanA.tanB.tanC=s\) (4)

\(\left(1\right)\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC=p-x_4\)

\(\left(4\right)\Rightarrow x_4\left(p-x_4\right)=s\)

Thế vào (2):

\(x_4\left(p-x_4\right)+tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q\)

\(\Rightarrow tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q-x_4\left(p-x_4\right)=q-s\)

Thế vào (3):

\(x_4\left(q-s\right)+p-x_4=r\)

\(\Rightarrow p-r=x_4\left(1-q+s\right)\Rightarrow x_4=\frac{p-r}{1-q+s}\)

*ba góc

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ε N^* , n ≥ 4.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: = 2

Vậy khẳng định là đúng với n= 4.

Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có

số đường chéo là

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1. Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi k + 1cạnh có số đường chéo là

Nối A₁ và A_k, ta được đa giác k cạnh A₁A_2…A_k có đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối A_k+1 với các đỉnh A₂, A₃, …, A_k-1, ta được thêm k -2 đường chéo, ngoài ra A₁A_k cũng là một đường chéo.

tại sao lại nhân 2 vô nơi(2) vậy bạn