Bài 2:

a: Xét (O) có

ΔCNM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCNM vuông tại N

=>CN\(\perp\)BN tại N

Xét tứ giác CNAB có \(\widehat{CNB}=\widehat{CAB}=90^0\)

nên CNAB là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{DNM};\widehat{DCM}\) là  các góc nội tiếp cùng chắn cung DM

=>\(\widehat{DNM}=\widehat{DCM}\)

mà \(\widehat{DNM}=\widehat{ANB}=\widehat{ACB}\)(CNAB nội tiếp)

nên \(\widehat{DCA}=\widehat{BCA}\)

=>CA là phân giác của góc BCD

c: C,E,D,N cùng thuộc (O)

=>CEDN nội tiếp

=>\(\widehat{CED}+\widehat{CND}=180^0\)

mà \(\widehat{CND}+\widehat{CBA}=180^0\)(CNAB nội tiếp)

nên \(\widehat{CED}=\widehat{CBA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên ED//AB

=>ABED là hình thang

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC\(\perp\)AM tại C

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD\(\perp\)MB tại D

Xét ΔMAB có

AD,BC là các đường cao

AD cắt BC tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔMAB

=>MI\(\perp\)AB

mà MH\(\perp\)AB

và MI,MH có điểm chung là M

nên M,I,H thẳng hàng

Xét tứ giác MCID có \(\widehat{MCI}+\widehat{MDI}=90^0+90^0=180^0\)

nên MCID là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MI

=>MCID nội tiếp (K)

=>KC=KI

=>ΔKCI cân tại K

=>\(\widehat{KCI}=\widehat{KIC}\)

mà \(\widehat{KIC}=\widehat{MIC}=\widehat{CAB}\left(=90^0-\widehat{AMH}\right)\)

nên \(\widehat{KCI}=\widehat{CAB}\)

ΔOBC có OB=OC

nên ΔOBC cân tại O

=>\(\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)

\(\widehat{KCO}=\widehat{KCB}+\widehat{OCB}=\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

Xét tứ giác KCOH có \(\widehat{KCO}+\widehat{KHO}=90^0+90^0=180^0\)

nên KCOH là tứ giác nội tiếp

1. Vẽ hình:

• Vẽ tam giác ABC nhọn (AB < AC).
• Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.
• Đường tròn (O) cắt AB tại M, cắt AC tại N.
• Vẽ BN và CM, giao điểm là H.
• D là trung điểm MN.
• CE là tiếp tuyến của (O) tại C.
• CE cắt MN tại E.
• CK song song BN (K thuộc AB).

2. Phân tích bài toán:

• Tính chất đường tròn: Góc BMC và góc BNC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên chúng là góc vuông.
• Tính chất trực tâm: H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm hai đường cao).
• Tính chất tiếp tuyến: CE vuông góc OC.
• Tính chất đường trung bình: OD vuông góc MN.

3. Chứng minh NDC = EOC:

• Tam giác OCN cân: OC = ON (bán kính) => góc ONC = góc OCN.
• OD vuông góc MN: D là trung điểm MN => OD là đường trung trực MN => góc ODN = 90°.
• CE vuông góc OC: CE là tiếp tuyến tại C => góc OCE = 90°.
• Tứ giác ODCE nội tiếp: Góc ODN + góc OCE = 180° => tứ giác ODCE nội tiếp.
• Góc NDC = góc ONC: Vì OD vuông góc MN và góc ONC=OCN, ta có góc NDC = góc ONC = góc OCN.
• Góc EOC = góc OCN: Vì tứ giác ODCE nội tiếp, góc EOC = góc ODC. Góc ODC= OCN do tam giác ODC=ODN(c.c.c)
• Vậy, NDC = EOC.

4. Chứng minh O, E, K thẳng hàng:

• CK song song BN: => góc BCK = góc CBN.
• Góc CBN = góc MCN: Vì cùng chắn cung CN.
• Góc MCN = góc KCE: Vì góc BCK = góc CBN = góc MCN.
• Tam giác CEN đồng dạng tam giác BEC: Góc CEN = góc BEC (chung), góc ECN = góc CBE (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CN).
• => EC^2 = EN * EB.
• Tam giác OEC vuông tại C: CE là tiếp tuyến => góc OCE = 90°.
• Tam giác OEC đồng dạng tam giác DEC: Góc EOC = góc EDC, góc OCE = góc CDE = 90°.
• => OE/EC = EC/ED => OE * ED = EC^2.
• => OE * ED = EN * EB.
• => Tứ giác OBND nội tiếp: Góc OBD = góc OND = 90°.
• => Góc EOB = góc END.
• Góc END = góc KCE: Vì góc MCN = góc KCE.
• => Góc EOB = góc KCE.
• => Góc EOK = góc EOB + góc BOK = góc KCE + góc CBK = 180°.
• Vậy, O, E, K thẳng hàng.

Tóm tắt:

• Chứng minh NDC = EOC bằng cách sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp và các góc bằng nhau.
• Chứng minh O, E, K thẳng hàng bằng cách sử dụng tính chất đồng dạng của tam giác và các góc bằng nhau.

a: Xét (O) có

ΔADC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔADC vuông tại D

=>AD\(\perp\)MC tại D

=>\(\widehat{ADM}=90^0\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

=>\(\widehat{MHA}=90^0=\widehat{MDA}\)

=>MDHA nội tiếp

b: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(3\right)\)

Xét ΔACM vuông tại A có AD là đường cao

nên \(MD\cdot MC=MA^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(MH\cdot MO=MD\cdot MC\)

a: Thay x=1 và y=-2 vào (P), ta được:

\(a\cdot1^2=-2\)

=>\(a\cdot1=-2\)

=>a=-2

b: Khi a=-2 thì \(y=a\cdot x^2=-2x^2\)

Vẽ đồ thị: 

c: Thay x=2 vào (P), ta được:

\(y=-2\cdot2^2=-8\)

\(2x^2-3x+1=0\\ \Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot2\cdot1=1>0\\ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-3\right)-1}{2\cdot2}=0,5\\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-3\right)+1}{2\cdot2}=1\\ \text{vậy phương trình có 2 nghiệm là }x_1=0,5;x_2=1\)

\(2x^2-3x+1=0\)

Ta có: \(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot2\cdot1=1\left(>0\right)\)

Do \(\Delta>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = \(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt1}{4}=\frac{3+1}{4}=1\)

x2 = \(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt1}{4}=\frac{3-1}{4}=\frac24=\frac12\)

a: Thay m=1 vào (1), ta được:

\(x^2-1\cdot x+1-3=0\)

=>\(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

b: \(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\left(m-3\right)\)

\(=m^2-4m+12\)

\(=m^2-4m+4+8=\left(m-2\right)^2+8>=8>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=6\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

=>\(m^2-2\left(m-3\right)-6=0\)

=>\(m^2-2m=0\)

=>m(m-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=2\end{matrix}\right.\)

Câu a: Chứng minh tứ giác \(A E H F\) nội tiếp đường tròn

Bước 1: Chứng minh \(\angle A E F + \angle A H F = 180^{\circ}\)

• Vì \(B E\) và \(C F\) là các đường cao của tam giác \(A B C\), ta có: \(\angle A E B = 90^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A F C = 90^{\circ}\)
• \(H\) là trực tâm tam giác \(A B C\), nên \(H\) nằm trên cả ba đường cao.
• Xét tứ giác \(A E H F\), ta có: \(\angle A E F + \angle A H F = \angle A E B + \angle A F C = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\)
• Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^{\circ}\), suy ra nó nội tiếp đường tròn.

Kết luận: Tứ giác \(A E H F\) nội tiếp.

Câu b: Chứng minh \(D I = D J\)

Bước 1: Sử dụng định nghĩa song song

• Qua \(D\), kẻ đường thẳng song song với \(B E\) cắt \(B E\) tại \(I\) và cắt \(A C\) tại \(J\).
• Vì \(D I \parallel B E\), ta có: \(\angle I D J = \angle E D B\) (hai góc so le trong).

Bước 2: Chứng minh \(D I = D J\)

• Xét tam giác \(D B E\), vì \(A D\) là đường cao nên \(D\) là trung điểm của \(B E\).
• Vì \(D I \parallel B E\) và \(D I\) cắt \(A C\), theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có: \(D I = D J\) (do \(D I J\) là đoạn trung bình trong tam giác \(A B E\)).

Kết luận: \(D I = D J\).