Bài học cùng chủ đề
Xác suất của biến cố liên quan tới phép thử SVIP
1. KẾT QUẢ THUẬN LỢI CỦA BIẾN CỐ
Cho phép thử $T$. Xét biến cố $E$, ở đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố $E$ tùy thuộc vào kết quả của phép thử $T$. Kết quả của phép thử $T$ làm cho biến cố $E$ xảy ra gọi là kết quả thuận lợi cho $E$.
Ví dụ 1.
Xét phép thử gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Giả sử kết quả của phép thử là con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt $1$ chấm, con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt $6$ chấm. Trong các biến cố sau, biến cố nào xảy ra, biến cố nào không xảy ra?
$A$: “Tổng số chấm xuất hiện lớn hơn $1$”;
$B$: “Tích số chấm xuất hiện là số chẵn”;
$C$: “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”.
Lời giải
Biến cố $A$ xảy ra vì tổng số chấm xuất hiện là $1 + 6 = 7 > 1$.
Biến cố $B$ xảy ra vì tích số chấm xuất hiện là $6 . 1 = 6$ là số chẵn.
Biến cố $C$ không xảy ra vì không cùng xuất hiện có cùng số chấm: con xúc xắc thứ nhất là $1$ chấm, con xúc xắc thứ hai là $6$ chấm.
Vậy biến cố $A$, $B$ xảy ra; biến cố 4C$ không xảy ra.
Ví dụ 2.
Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng $2$ quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, có cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp đựng $3$ tấm thẻ $A$, $B$, $C$.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.
b) Xét các biến cố sau:
$E$: “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu đen”;
$F$: “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ $A$”.
Hãy mô tả các kết quả thuận lợi cho hai biến cố $E$ và $F$.
Lời giải
a) Phép thử là bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng $2$ quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, có cùng khối lượng và kích thước; bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp đựng $3$ tấm thẻ $A,\, B,\, C$.
Kết quả của phép thử là $(a, b)$, trong đó $a$ và $b$ tương ứng là màu của quả cầu lấy được (màu đen $(Đ)$, màu trắng $(T)$) và chữ ghi trên tấm thẻ rút được.
Do đó, không gian mẫu của phép thử là: $\Omega = \{(Đ, A); (Đ, B); (Đ, C); (T, A); (T, B); (T, C)\}$.
b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là: $(Đ, A);\, (Đ, B);\, (Đ, C)$.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố $F$ là: $(T, B); \,(T, C)$.
2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP THỬ
Giả sử rằng các kết quả có thể của phép thử $T$ là đồng khả năng. Khi đó xác suất $P(E)$ của biến cố $E$ bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ và số phần tử của tập $\Omega$:
$P(E)=\dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$,
trong đó $\Omega$ là không gian mẫu của $T$, $n(E)$ là số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ và $n(\Omega)$ là số phàn tử của $\Omega$.
Cách tính xác suất của một biến cố
Việc tính xác suất của một biến cố $E$ gồm các bước sau:
Bước 1. Mô tả không gian mẫu của phép thử. Từ đó xác định số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.
Bước 2. Chứng tỏ các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.
Bước 3. Mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$. Từ đó xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.
Bước 4. Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ với số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.
Ví dụ 3.
Một hộp đựng $20$ tấm thẻ như nhau được đánh số từ $1$ đến $20$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố $A$: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của $4$”.
Lời giải
Xét phép thử "Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp đựng $20$ tấm thẻ như nhau được đánh số từ $1$ đến $20$".
Không gian mẫu là: $\Omega =\{ 1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9;\,10;\,11;\,12;\,13;\,14;\,15;\,16;\,17;\,18;\,19;\,20 \}$
Suy ra $n(\Omega )=20$
Do các tấm thẻ là như nhau và được rút ngẫu nhiên nên các kết quả trên là đồng khả năng.
Kết quả thuận lợi của biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là bội của $4$” là: $\{ 4;\,8;\,12;\,16;\,20\}$.
Suy ra $n(A )=5$
Xác suất của biến cố $A$ là : $P(A )=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$.